Pokud T je dáno BST s n elementy, L jeho levé podstromu a R svou pravou, jak mohu dokázat, že jeho hloubka je menší než nebo se rovná 2log (n) + 1?
Tam je důkaz indukcí, které mám, ale já to nechápu.
(Chápu, že Stackoverflow hlavně programování orientované, ale našel jsem několik otázek týkajících se binární vyhledávací stromy a rozhodl se zkusit to, doufám, že nedělám něco není dobré. :))
Podle definice „vyvážený“, hloubky každých levého a pravého podstromu stejného uzlu se liší nejvýše o jednu. „Hloubka“ je obvykle definována jako „počet kroku nejdelší vzdálenosti od stromu kořene až do listu“, takže například BST s jedním kořenem a dvěma listy (tři prvky v jediný způsob, jak mohou být uspořádány ve vyvážené BST) je říká, že má hloubku jeden (vypadá to, že používáte nepatrně odlišnou definici, která by mu dát hloubku dva?) jak by se dalo s jedním kořenem a jedním listem (zda je tento list je kořenem levou nebo pravou podstrom nehraje žádnou roli), přičemž jeden se jen kořen, který je také list (jeden prvek) bude mít hloubku 0. (není BST s nulovými prvky).
Takže pro n <= 3 prvky, volání D (n) je hloubka strom jak je definována výše, jasně D(n) < log(n) + 1(s logvýznamem základním-2 logaritmu) prohlídkou, jelikož 1 = D(2) < log(2) + 1 = 2(i 1 = D(3), pro které je RHS nerovnosti, log(3) + 1je ve skutečnosti > 2), a 0 = D(1) < log(1) + 1 = 1- to nám dává indukční základnu.
Chcete-li dokončit důkaz o indukci musíme ukázat, že jestliže D(k) < log(k) + 1pro všechny k < n, pak to rovněž vyplývá, že D(n) < log(n) + 1.
Pokud je n liché, jasně vlevo a vpravo podstromu mají (n-1)/2prvky každého, a strom má hloubku 1 více než podstromy; ale pak D(n) = 1 + D((n-1)/2) < 1 + 1 + log((n-1)/2)(indukční hypotéza) = 1 + log(n-1)(od log((n-1)/2) = log(n-1) - 1) a tedy tím spíše < 1 + log(n), QED.
Pokud nje ještě budete postupovat jen podle stejných kroků, s log(n)místo log(n-1)a bez „Tím spíše“ povrchovou úpravou, a důkaz stále drží.
Vaše odpověď je pravdivý, pokud Vyvážené binární strom je kompletní řada prvků v pravé a levé podstromu může být (n-1) / 2, ale pokud to není úplná, počet prvků, nemusí být (n-1) / 2 as poslední úroveň mohou mít různé prvky
